Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四點(diǎn)A（12，0），B（-4，0），C（0，-3），D（-3，-4），把坐標(biāo)系平面沿y軸折為直二面角．

（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面ADO和平面ADC的夾角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐C-AOD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出BC，和AD的斜率，證明k_OD•k_BC=-1，即可證明BC⊥AD；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ADO和平面ADC的夾角的余弦值；
（Ⅲ）利用體積轉(zhuǎn)化法結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵B（-4，0），C（0，-3），D（-3，-4），
∴k_OD•k_BC=•$\frac{-4}{-3}×\frac{-3}{0-（-4）}$=$\frac{4}{3}•（-\frac{3}{4}）$=-1，
即OD⊥BC，
當(dāng)把坐標(biāo)系平面沿y軸折為直二面角后，OA⊥平面BOC，
∴OA⊥BC，
∵OA∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，Oy，OB分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（12，0，0），B（0，0，4），C（0，-3，0），D（0，-4，3），
則由（1）知平面ADO的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{BC}$=（0，-3，-4），
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AC}$=（-12，-3，0）
$\overrightarrow{AD}$=（-12，-4，3），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，3），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=-12x-3y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-y+3z=0，
令y=12，則x=-3，z=4，即$\overrightarrow{n}$=（-3，12，4），
則cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3×12-4×4}{\sqrt{（-3）^{2}+（-4）^{2}}•\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}+1{2}^{2}}}$=$\frac{-52}{5×13}=-$$\frac{4}{5}$，
∵平面ADO和平面ADC的夾角是銳角，
∴平面ADO和平面ADC的夾角的余弦值是$\frac{4}{5}$；
（Ⅲ）V_C-AOD=V_A-COD=$\frac{1}{3}$×OA•S_△OCD=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$×3×3×12=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的垂直關(guān)系以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．求三棱錐的體積是關(guān)鍵是求底面積和高，對(duì)不規(guī)則的三棱錐要考慮使用體積轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解．