Question

橢圓

x2

36

+

y2

27

=1，過(guò)右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，|NF|：|AB|的值是一個(gè)與直線AB的斜率無(wú)關(guān)的常數(shù)，由此想到取特殊位置來(lái)解決問(wèn)題．設(shè)AB的斜率k=0，可得此時(shí)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)N與原點(diǎn)重合，由此結(jié)合橢圓的方程算出|NF|與|AB|的長(zhǎng)，可得答案．

解答：解：∵橢圓

x2

36

+

y2

27

=1中，a²=36且b²=27，
∴c=

a2-b2

=3，可得右焦點(diǎn)為F（3，0）．
根據(jù)題意，過(guò)右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|為一個(gè)常數(shù)，
與直線AB的斜率無(wú)關(guān)，因此考慮取特殊位置．
當(dāng)AB的斜率k=0時(shí)，AB恰好是橢圓的長(zhǎng)軸，AB的垂直平分線為y軸，
此時(shí)AB的垂直平分線交x軸于原點(diǎn)，N點(diǎn)與原點(diǎn)0（0，0）重合，
∴|AB|=2a=12，|NF|=c=3，可得|NF|：|AB|=

1

4

．
故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸不垂直的弦AB，AB的垂直平分線交x軸于N，求線段的比值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．