已知點A（2，
1
2
）為雙曲線y=
1
x
在第一象限分支上的一點，試判斷過點A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切．
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：聯(lián)立
y=
1
x
y-
1
2
=k(x-2)
，得2kx2-（4k+1）x-2=0，利用根的判別式判斷過點A的一條直線能否與雙曲線第三象限的分支相切．
解答： 解：設(shè)過點A（2，
1
2
）的直線方程為y-
1
2
=k（x-2），
聯(lián)立
y=
1
x
y-
1
2
=k(x-2)
，得2kx2-（4k+1）x-2=0，
△=（4k+1）2+8k，
∴k＞0時，過點A的一條直線能與雙曲線第三象限的分支相切；
k＜0時，過點A的一條直線不能與雙曲線第三象限的分支相切．
點評：本題考查直線與雙曲線能否相切的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式的靈活運用，
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x
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