【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,且
,數(shù)列
滿足
,
,對(duì)任意
,都有
.
(1)求數(shù)列、
的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
.若對(duì)任意的
,不等式
恒成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
【解析】
試題(1)由,得
,又
,兩式相減得
,整理得
,即
,又因?yàn)?/span>
,
,
利用累積法得,
從而可求出數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式為
;
在數(shù)列中,由
,得
,且
,
所以數(shù)學(xué)是以首項(xiàng)為
,公比為
的等比數(shù)列,從而數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
.
(2)由題意得,
,
兩式相減得,
由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得
,
由不等式恒成立,得
恒成立,
即(
)恒成立,
構(gòu)造函數(shù)(
),
當(dāng)時(shí),
恒成立,則
不滿足條件;
當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當(dāng)時(shí),
恒成立,則
滿足條件.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
試題解析:(1)∵,∴
(
),兩式相減得,
,
∴,即
(
),又因?yàn)?/span>
,
,從而
∴(
),
故數(shù)列的通項(xiàng)公式
(
).
在數(shù)列中,由
,知數(shù)列
是等比數(shù)列,首項(xiàng)、公比均為
,
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式
.
(2)∴①
∴②
由①-②,得,
∴,
不等式即為
,
即(
)恒成立.
方法一、設(shè)(
),
當(dāng)時(shí),
恒成立,則
不滿足條件;
當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當(dāng)時(shí),
恒成立,則
滿足條件.
綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
方法二、也即(
)恒成立,
令.則
,
由,
單調(diào)遞增且大于0,∴
單調(diào)遞增∴
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸出T=6,那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( )
A.k<32
B.k<33
C.k<64
D.k<65
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高一某班級(jí)在學(xué)校數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)中推出了一款數(shù)學(xué)游戲,受到大家的一致追捧.游戲規(guī)則如下:游戲參與者連續(xù)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,記第i次得到的點(diǎn)數(shù)為,若存在正整數(shù)n,使得
,則稱為游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字。
(I)求游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為1的概率;
(Ⅱ)求游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為2的概率,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面上,將兩個(gè)半圓弧
和
、兩條直線
和
圍成的封閉圖形記為
,如圖中陰影部分.記
繞
軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為
,過(guò)
作
的水平截面,所得截面面積為
,試?yán)米鏁溤恚ㄗ鏁溤恚骸皟鐒?shì)既同,則積不容異”,意思是:兩等高的幾何體在同高處被截得的兩個(gè)截面面積均相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等)、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體,得出
的體積值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)
,其前
項(xiàng)和為
,對(duì)于任意正整數(shù)
,
,都有
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足
,且
.
①求證數(shù)列為常數(shù)列.
②求數(shù)列的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足:2Sn+an=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在x=e﹣1處的切線方程;
(2)當(dāng) 時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若x>0,求函數(shù) 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究“晚上喝綠茶與失眠”有無(wú)關(guān)系,調(diào)查了100名人士,得到下面的列聯(lián)表:
失眠 | 不失眠 | 合計(jì) | |
晚上喝綠茶 | 16 | 40 | 56 |
晚上不喝綠茶 | 5 | 39 | 44 |
合計(jì) | 21 | 79 | 100 |
由已知數(shù)據(jù)可以求得:,則根據(jù)下面臨界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
可以做出的結(jié)論是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠無(wú)關(guān)”
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠有關(guān)”
D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“晚上喝綠茶與失眠無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,有、
、
三座城市,
城在
城的正西方向,且兩座城市之間的距離為
;
城在
城的正北方向,且兩座城市之間的距離為
.由
城到
城只有一條公路
,甲有急事要從
城趕到
城,現(xiàn)甲先從
城沿公路
步行到點(diǎn)
(不包括
、
兩點(diǎn))處,然后從點(diǎn)
處開始沿山路
趕往
城.若甲在公路上步行速度為每小時(shí)
,在山路上步行速度為每小時(shí)
,設(shè)
(單位:弧度),甲從
城趕往
城所花的時(shí)間為
(單位:
).
(1)求函數(shù)的表達(dá)式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)點(diǎn)在公路
上何處時(shí),甲從
城到達(dá)
城所花的時(shí)間最少,并求所花的最少的時(shí)間的值.
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