Question

已知橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），離心率e=，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過橢圓的左焦點(diǎn)F₁且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ．試探究點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率和通徑的長度，結(jié)合a²=b²+c²聯(lián)立求出a，b的值，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而求出縱坐標(biāo)的乘積，利用OP⊥OQ得到x₁x₂+y₁y₂=0，把坐標(biāo)乘積代入后求得m和k的關(guān)系，求出點(diǎn)O到直線l的距離，整體代入后可求得距離為定值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接求解P和Q的坐標(biāo)，也能得到距離是相同的定值．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125843018404744/SYS201310251258430184047017_DA/0.png">，所以    ①
因?yàn)檫^橢圓的左焦點(diǎn)F₁且垂直于長軸的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且，
經(jīng)計(jì)算得    ②
由a²=b²+c²，解①②得
，b=1，c=1，
所以橢圓的方程為；
（Ⅱ）1°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由，聯(lián)立得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
所以△=8（2k²+1-m²）＞0
，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=
因?yàn)镺P⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0
即
所以
此時(shí)滿足條件，
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，
則．
2°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
因?yàn)镺P⊥OQ，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線OP、OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得，或，，
此時(shí)原點(diǎn)O到直線l的距離仍為，
綜上可得，原點(diǎn)O到直線l的距離為．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決有關(guān)問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難題．