Question

正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于一個半徑為R的球，那么這個正四棱錐體積的最大值為______．

Answer 1

設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長等于a，底面到球心的距離等于x
則：x2+(

2

2

a) 2=R 2
而正四棱錐的高為h=R+x
故正四棱錐體積為：
V（x）=

1

3

×a2h=

1

3

×a2(R+x)=

2

3

(R 2-x 2)(R+x)
其中x∈（0，R）
∵

2

3

(R 2-x 2)(R+x) =

1

3

(2R-2x)(R+x)(R+x)≤

1

3

×(

(2R-2x)+(R+x)+(R+x)

3

)  3=

64

81

R³
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

R時，等號成立
那么這個正四棱錐體積的最大值為：

64

81

R³
故答案為：

64

81

R³