Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x．
（1）當a≤0時，求函數(shù)f（x）單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為4，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,轉化思想

分析：（1）利用導數(shù)結合參數(shù)條件，判斷導函數(shù)的正負，得到原函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個方程，從而求出參數(shù)的值．

解答： 解：（1）解：∵f（x）=ax³-3x，
∴f′（x）=3ax²-3，
∵a≤0，所以f′（x）＜0對任意實數(shù)x∈R恒成立，
∴f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）當a≤0時，由（1）可知，f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，
由f（2）=4得a=

5

4

，（不符合舍去），
當a＞0時，f′（x）=3ax²-3=0的兩根x=±

1 a

，
①當

1 a

≤1，即a≥1時，f′（x）≥0在區(qū)間[1，2]恒成立，f（x）在區(qū)間[1，2]是增函數(shù)，由f（1）=4得a=7；
②當

1 a

≥2，即0＜a≤

1

4

時　f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]恒成立　f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，f（2）=4，a=

5

4

（不符合舍去）；
③當1＜

1 a

＜2，即

1

4

＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，

1 a

]是減函數(shù)，f（x）在區(qū)間[

1 a

，2]是增函數(shù)；所以f(

1

a

)=4無解．
綜上，a=7．

點評：本題考查的是導數(shù)知識，重點是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，難點是分類討論．對學生的能力要求較高，屬于難題．