Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）記，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)的情況；

（Ⅱ）若有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后可知的符號(hào)由的符號(hào)決定；根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合存在性定理可知存在唯一的，使得，從而得到得單調(diào)性，根據(jù)極值與單調(diào)性的關(guān)系可確定極值點(diǎn)；（Ⅱ）將所求不等式化為；當(dāng)和時(shí)，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論可驗(yàn)證出都有無窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，由時(shí)，可知無整數(shù)解，不合題意；若，可知，解不等式組求得結(jié)果.

（Ⅰ）由得：

設(shè)，則在上單調(diào)遞增

又，

存在唯一的，使得，即

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)

（Ⅱ）由得：，即

①當(dāng)時(shí)，恒成立，有無窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意

②當(dāng)時(shí)，，

， 當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知：

有無窮多個(gè)整數(shù)解，即有無窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意

③當(dāng)時(shí)，

i.當(dāng)時(shí)，，又

兩個(gè)整數(shù)解為：

，解得：

ii.當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知： 無整數(shù)解，不合題意

綜上所述：