【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(I)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線l:x+2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(II)設(shè)函數(shù)F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在區(qū)間(m,m+1)(m∈Z)內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn),求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的較大者,記函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函數(shù)h(x)在(0,+∞)上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(I)a=; (II)m=0或m=3; (III)a>.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f′(1),求出a的值即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn),求出對(duì)應(yīng)的m的值即可;
(Ⅲ)通過討論a的范圍求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定a的范圍即可.
試題解析:
(I)易得,f '(x)=3x2-3a,所以f '(1)=3-3a,
依題意,(3-3a)(-)=-1,解得a=;
(II)因?yàn)镕(x)=-x[g(x)+x-2]=-x[(1-lnx)+x-2]=xlnx-x2+x,
則F' (x)=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 設(shè)t(x)=lnx-x+2,
則t '(x)=-1=.
令t '(x)=0,得x=1.
則由t '(x)>0,得0<x<1,F(xiàn) '(x)為增函數(shù);
由t '(x)<0,得x>1,F(xiàn) '(x)為減函數(shù);
而F '()=-2-+2=-<0,F(xiàn) '(1)=1>0.
則F '(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x1,
且在(0,x1)上F '(x)<0,F(xiàn)(x)為減函數(shù);
在(x1,1)上F '(x)>0,F(xiàn)(x)為增函數(shù).
所以x1為極值點(diǎn),此時(shí)m=0.
又F '(3)=ln3-1>0,F(xiàn) '(4)=21n2-2<0,
則F '(x)在(3,4)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x2,
且在(3,x2)上F '(x)>0,F(xiàn)(x)為增函數(shù);
在(x2,4)上F '(x)<0,F(xiàn)(x)為減函數(shù).
所以x2為極值點(diǎn),此時(shí)m=3.
綜上m=0或m=3.
(III)(1)當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g(x)>0,依題意,h(x)≥g(x)>0,不滿足條件;
(2)當(dāng)x=e時(shí),g(e)=0,f(e)=e3-3ae+e,
①若f(e)=e3-3ae+e≤0,即a≥,則e是h(x)的一個(gè)零點(diǎn);
②若f(e)=e3-3ae+e>0,即a<,則e不是h(x)的零點(diǎn);
(3)當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g(x)<0,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)f(x)在(e,+∞)上零點(diǎn)的情況.
因?yàn)閒 '(x)=3x2-3a>3e2-3a,所以
①當(dāng)a≤e2時(shí),f '(x)>0,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增.
又f(e)=e3-3ae+e,所以
(i)當(dāng)a≤時(shí),f(e)≥0,f(x)在(e,+∞)上無零點(diǎn);
(ii)當(dāng)<a≤e2時(shí),f(e)<0,
又f(2e)=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0,
所以此時(shí)f(x)在(e,+∞)上恰有一個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)a>e2時(shí),令f '(x)=0,得x=±.
由f '(x)<0,得e<x<;
由f '(x)>0,得x>;
所以f(x)在(e, )上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
因?yàn)閒(e)=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0,
f(2a)=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0,
所以此時(shí)f(x)在(e,+∞)上恰有一個(gè)零點(diǎn);
綜上,a>.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , .
(1)當(dāng)時(shí),求的極值;
(2)令,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-3|-|x+1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<-1;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|x+a|-4,且g(x)≤f(x)在x∈[-2,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐(上下底面及側(cè)面的厚度不計(jì)).易拉罐的體積為 ,設(shè)圓柱的高度為 ,底面半徑為 ,且.假設(shè)該易拉罐的制造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知易拉罐側(cè)面制造費(fèi)用為元/ ,易拉罐上下底面的制造費(fèi)用均為元/ (, 為常數(shù),且).
(1)寫出易拉罐的制造費(fèi)用(元)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求其定義域;
(2)求易拉罐制造費(fèi)用最低時(shí)的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).
(1)若=6,求k的值;
(2)求四邊形AEBF面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2.
(I)若f(x)在x=1處有極值10,求a,b的值;
(II)若當(dāng)a=-1時(shí),f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范圍
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a的值,并求此時(shí)函數(shù)的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+x2+x(0<a<1,x∈R).若對(duì)于任意的三個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,x3∈[1,2],都有f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象,且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)在中,內(nèi)角, , 的對(duì)邊分別是, , ,若,且,求的周長(zhǎng)的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com