【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k>0)與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點.

(1)若=6,求k的值;

(2)求四邊形AEBF面積的最大值.

【答案】見解析

【解析】(1)依題意得橢圓的方程為+y2=1,直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2滿足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1.①

=6知x0-x1=6(x2-x0),

得x0 (6x2+x1)=x2;

由D在AB上知x0+2kx0=2,

得x0.

所以,

化簡得24k2-25k+6=0,

解得k=或k=.

(2)根據(jù)點到直線的距離公式和①式知,點E,F(xiàn)到AB的距離分別為

h1,

h2.

又|AB|=

所以四邊形AEBF的面積為

S=|AB|(h1+h2)

··

=2≤2,

當(dāng)4k2=1(k>0),即當(dāng)k=時,上式取等號.

所以S的最大值為2.

即四邊形AEBF面積的最大值為2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差x/℃

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y/顆

23

25

30

26

16

(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率;

(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程x+

(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高校共有學(xué)生15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).

1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)?

2)根據(jù)這300樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為: .估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率;

3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時,請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)


0.10

0.05

0.010

0.005


2.706

3.841

6.635

7.879

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某廠今年擬舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費m(萬元)(m≥0)滿足x=3-.已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).

(1)將今年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費m(萬元)的函數(shù);

(2)求今年該產(chǎn)品利潤的最大值,此時促銷費為多少萬元?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù)

(Ⅰ)已知常數(shù)解關(guān)于的不等式;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線l:x+2y=0垂直,求實數(shù)a的值;

(II)設(shè)函數(shù)F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在區(qū)間(m,m+1)(m∈Z)內(nèi)存在唯一的極值點,求m的值;

(III)用max{m,n}表示m,n中的較大者,記函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函數(shù)h(x)在(0,+∞)上恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點,A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M.

(1)求拋物線的方程;

(2)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當(dāng)K(m,0)是x軸上一動點時,討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)求函數(shù)上的最小值;

(2)對一切,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)探討函數(shù)是否存在零點?若存在,求出函數(shù)的零點;若不存在,請說明理由.

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