Question

已知：在空間四邊形DABC中，DA⊥BC，DB⊥AC．用兩種方法證明：DC⊥AB．

Answer 1

證明：法一：=
=
=
故DC和AB互相垂直．
法二：證明：取AB中點(diǎn)E，連接DE、CE，∵BC=AC，E為AB中點(diǎn)，∴CE⊥AB，
同理DE⊥AB．
∵CE∩DE=E，
∴AB⊥平面CDE，
∴AB⊥CD．
分析：法一：將 用，來表示； 用 ， 表示；利用向量的運(yùn)算律及向量垂直的數(shù)量積為0求出 ；判斷出垂直．
法二：取AB中點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可得CE⊥AB，且DE⊥AB，再由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE，從而得到AB⊥CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的充要條件、向量的運(yùn)算法則、向量的運(yùn)算律利用想向量垂直判斷線垂直．本題還考查證明線線垂直、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取取AB中點(diǎn)E，是解題的突破口．