Question

已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求直線的方程；
（3）是否存在斜率是1的直線，使得以被圓所截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)
原點(diǎn)？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）;（2）或；（3）不存在．

試題分析：（1）用兩點(diǎn)的距離公式求出圓的半徑，就可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）法一：由圓的弦長(zhǎng)可求得圓心到直線的距離，再用點(diǎn)斜式設(shè)出所求直線的方程，應(yīng)用待定系數(shù)法：由點(diǎn)到直線的距離公式，就可求出所求直線的斜率，從而就可求得所求的直線方程，只是一定要注意：斜率不存在情形的討論；法二：設(shè)出直線的斜率，寫(xiě)出直線方程，與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，就可用斜率的代數(shù)式將弦長(zhǎng)表示出來(lái)，從而獲得關(guān)于斜率的方程解之即得；一樣也需考慮斜率不存在情形；（3）法一：假設(shè)所求直線存在，先用斜截式設(shè)出其方程，并用m的式子表示出弦EF的中點(diǎn)坐標(biāo)，再畫(huà)出圖形，由以弦EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)知，再作勾股定理即可獲得關(guān)于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)直線方程，無(wú)解則不存在；法二：將直線方程與圓方程聯(lián)立，消元，再用韋達(dá)定理，將條件應(yīng)用向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為，然后將韋達(dá)定理的結(jié)論代入即可獲得關(guān)于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)直線方程，無(wú)解則不存在．
試題解析：（1）圓的半徑為,        1分
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.            3分
（2）方法一 如圖所示，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則， 且，

∵圓的半徑為4，即
∴在中，可得，即點(diǎn)到直線的距離為2．           4分
（i）當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為,即．           5分
由點(diǎn)到直線的距離公式得：=2，解得.
∴此時(shí)直線的方程為.            7分
（ii）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.
將代入得，，
∴,,
∴方程為的直線也滿足題意.
∴所求直線的方程為或.         8分
方法二：當(dāng)所求直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的方程為,即.---4分
聯(lián)立直線與圓的方程:,          5分
消去得      ①
設(shè)方程①的兩根為,
由根與系數(shù)的關(guān)系得        ②
由弦長(zhǎng)公式得|x₁-x₂|==4   ③
將②式代入③，并解得，
此時(shí)直線的方程為.            7分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
仿方法一驗(yàn)算得方程為的直線也滿足題意.
∴所求直線的方程為或.           8分
（3）方法一：假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，設(shè)的方程為,
則的中點(diǎn)是兩直線與的交點(diǎn),即,          10分
∴.
∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴，
∴，  12分
又∵，，
∴，化簡(jiǎn)得，
∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴不存在滿足題設(shè)條件的直線．                14分
方法二： 假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)的方程為，點(diǎn)，點(diǎn),
聯(lián)立直線與圓的方程,          9分
消去得 
由根與系數(shù)的關(guān)系得      ④      11分
∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴.
若、中有一點(diǎn)在軸上，則另一點(diǎn)必在軸上，而在圓的方程中令可得無(wú)實(shí)數(shù)解，故本情況不會(huì)出現(xiàn)．    --------12分
∴即，
∴，
化簡(jiǎn)得: ，        13分
以④代入并化簡(jiǎn)得 
∵方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴不存在滿足題設(shè)條件的直線．               14分