Question

已知f（x+1）=x^α（α為常數(shù)），且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（5，2）．
（1）求f（x）的解析式；（2）用單調(diào)性定義證明y=f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x+1）=x^α表示出f（x），然后將點（5，2）代入，求出α，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)1≤x₁＜x₂，然后通過化簡變形判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據(jù)增函數(shù)的定義進行判定即可．

解答：解：（1）∵f（x+1）=x^α∴f（x）=（x-1）^α，
又y=f（x）的圖象過點（5，2）∴f（5）=（5-1）^α=2，α=log₄2=

1

2

∴f(x)=(x-1)

1

2

=

x-1

  （x≥1）
（2）設(shè)1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

-

x2-1

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）∴y=f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)．

點評：本題主要考查了冪函數(shù)，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵就是對f（x₁）-f（x₂）進行化簡變形定號，屬于基礎(chǔ)題．