Question

若不等式3x²-log_ax＜0在x∈（0，

1

3

）內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是

[

1

27

，1）

．

Answer 1

分析：作出函數(shù)f（x）=3x²，x∈（0，

1

3

）的圖象，結(jié)合題意可得0＜a＜1，作出函數(shù)g（x）=log_ax（0＜a＜1）的圖象，結(jié)合圖象確定a的取值范圍．

解答：解：由題意可得，a＞1不符合題意，故0＜a＜1，
分別作出函數(shù)f（x）=3x²，x∈（0，

1

3

）和函數(shù)g（x）=log_ax（0＜a＜1）的圖象，
而函數(shù)f（x）在（0，

1

3

）單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=log_ax在（0，

1

3

）單調(diào)遞減，
不等式x²-log_ax＜0在（0，

1

3

）內(nèi)恒成立，只需f（

1

3

）≤g（

1

3

），
即

1

3

≤log_a

1

3

，解得

1

27

≤a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍是

1

27

≤a＜1．
故答案為：[

1

27

，1)．

點評：本題考查了函數(shù)的恒成立問題，對于恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．本題選用了數(shù)形結(jié)合法求解，將3x²-log_ax＜0在x∈（0，

1

3

）內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=3x²與g（x）=log_ax的圖象進行求解，解題時要注意抓住“臨界”狀態(tài)分析．為研究數(shù)量關(guān)系問題而提供“形”的直觀性，是探求解題途徑、獲得解題結(jié)果的重要工具，應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．屬于中檔題．