Question

20．如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以原點O為頂點，F(xiàn)₂為焦點的拋物線的一部分（y≥0），A是曲線C₁和C₂的交點．已知∠AF2F₁為鈍角且|AF₁|=$\frac{7}{2}$，|AF₂|=$\frac{5}{2}$．
（1）求曲線C₁和C₂的方程；
（2）過橢圓C₁的左焦點F₁作直線l與橢圓交于D，E兩點，是否存在定點Q使得∠DQF₁=∠EQF₁總成立．如果存在，請求出這樣的點Q，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則根據(jù)|AF₁|=$\frac{7}{2}$，|AF₂|=$\frac{5}{2}$，可得a=3，設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=$\frac{49}{4}$，（x-c）²+y²=$\frac{25}{4}$，由此可求曲線C₁和C₂的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在定點Q，使得無論DE怎樣運動都有∠DQF₁=∠EQF₁總成立，再利用內(nèi)角平分線定理，結(jié)合推理，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答 解：（I）設(shè)曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則2a=|AF₁|+|AF₂|=$\frac{7}{2}$+$\frac{5}{2}$=6得a=3，
設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則（x+c）²+y²=$\frac{49}{4}$，（x-c）²+y²=$\frac{25}{4}$
兩式相減可得：xc=$\frac{3}{2}$，
由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=$\frac{5}{2}$，
∴c=1，x=$\frac{3}{2}$或x=1，c=$\frac{3}{2}$（舍去）
所以曲線C₁的方程為 $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（-3≤x≤$\frac{3}{2}$），
C₂的方程為y²=4x（0≤x≤$\frac{3}{2}$）；
（2）假設(shè)在x軸上存在定點Q，使得QF₁恰好為△DQE的內(nèi)角平分線，
則由角平分線的性質(zhì)定理得：$\frac{|D{F}_{1}|}{|E{F}_{1}|}$=$\frac{|DQ|}{|EQ|}$=$\frac{|D{F}_{1}|+|DQ|}{|E{F}_{1}|+|EQ|}$為定值．
又|DF₁|+|DF₂|=2a=6，|EF₁|+|EF₂|=2a=6，
∴$\frac{|D{F}_{1}|}{|E{F}_{1}|}$=$\frac{6-|D{F}_{1}|}{6-|E{F}_{1}|}$，
∴|DF₁|=|EF₁|，即F₁為DE的中點，
∴DE⊥x軸，這與DE為過F₁的任意弦矛盾，
∴假設(shè)不成立，即不存在定點Q，使得Q使得∠DQF₁=∠EQF₁總成立．

點評 本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，考查存在性問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．