【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) ,;(2)證明見解析;(3) .
【解析】
試題分析:(1)尋找關于a,b的兩個方程如(2)根據(jù)的單調(diào)性定義證明.(3)由單調(diào)遞減則且滿足的定義域,將問題轉化為關于參數(shù)a的不等式.
試題解析:(1)∵在定義域為是奇函數(shù).所以,即,∴.
又由,即,∴,檢驗知,當,時,原函數(shù)是奇函數(shù).
(2)由(1)知,任取,設,則
,因為函數(shù)在上是增函數(shù),且,所以,又,∴即,∴函數(shù)在上是減函數(shù).
(3)因是奇函數(shù),從而不等式等價于,因在上是減函數(shù),由上式推得,即對一切有:恒成立,
設,令,則有,∴,∴,即的取值范圍為.
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【題目】為了美化城市環(huán)境,某市針對市民亂扔垃圾現(xiàn)象進行罰款處理。為了更好的了解市民的態(tài)度,隨機抽取了200人進行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
罰款金額(單位:元) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
會繼續(xù)亂扔垃圾的人數(shù) | 80 | 50 | 40 | 20 | 10 |
(1)若亂扔垃圾的人數(shù)與罰款金額滿足線性回歸方程,求回歸方程,其中,并據(jù)此分析,要使亂扔垃圾者不超過,罰款金額至少是多少元?
(2)若以調(diào)查數(shù)據(jù)為基礎,從5種罰款金額中隨機抽取2種不同的數(shù)額,求這兩種金額之和不低于25元的概率.
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【題目】如圖,已知圓心坐標為(,1)的圓M與x軸及直線y=x分別相切于A,B兩點,另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y=x分別相切于C、D兩點.
(1)求圓M和圓N的方程;
(2)過點B作直線MN的平行線l,求直線l被圓N截得的弦的長度
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【題目】銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是萬元,它們與投入資金萬元的關系分別為(其中都為常數(shù)),函數(shù)對應的曲線如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若該商場一共投資8萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品,求該商場所獲利潤的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上具有單調(diào)性,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在圖象上方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知以點為圓心的圓過原點.
(1)設直線與圓交于點,若,求圓的方程;
(2)在(1)的條件下,設,且分別是直線和圓上的動點,求的最大值及此時點的坐標.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的新產(chǎn)品必須先靠廣告打開銷路,該產(chǎn)品廣告效應(單位:元)是產(chǎn)品的銷售額與廣告費(單位:元)之間的差,如果銷售額與廣告費的算術平方根成正比,根據(jù)對市場的抽樣調(diào)查,每付出100元的廣告費,所得銷售額是1000元.
(Ⅰ)求出廣告效應與廣告費之間的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)該企業(yè)投入多少廣告費才能獲得最大的廣告效應?是不是廣告費投入越多越好?
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【題目】某班主任對全班50名學生作了一次調(diào)查,所得數(shù)據(jù)如表:
認為作業(yè)多 | 認為作業(yè)不多 | 總計 | |
喜歡玩電腦游戲 | 18 | 9 | 27 |
不喜歡玩電腦游戲 | 8 | 15 | 23 |
總計 | 26 | 24 | 50 |
由表中數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值k≈5.059,于是________(填“能”或“不能”)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多有關.
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