【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點為A(﹣4,0),過點A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D,交y軸于點E.

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P為AD的中點,是否存在定點Q,對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點Q的坐標;若不存在說明理由;
(3)若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M,求 的最小值.

【答案】
(1)解:∵橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點為A(﹣4,0),

∴a=4,又 ,∴c=2.…(2分)

又∵b2=a2﹣c2=12,

∴橢圓C的標準方程為


(2)解:直線l的方程為y=k(x+4),

消元得,

化簡得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,

∴x1=﹣4, .…(6分)

當(dāng) 時, ,

∵點P為AD的中點,∴P的坐標為 ,

.…(8分)

直線l的方程為y=k(x+4),令x=0,得E點坐標為(0,4k),

假設(shè)存在定點Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,

則kOPkEQ=﹣1,即 恒成立,

∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立,∴ ,即 ,

∴定點Q的坐標為(﹣3,0).


(3)解:∵OM∥l,∴OM的方程可設(shè)為y=kx,

,得M點的橫坐標為

由OM∥l,得

=

=

當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號,

∴當(dāng) 時, 的最小值為


【解析】(1)由橢圓的離心率和左頂點,求出a,b,由此能求出橢圓C的標準方程.(2)直線l的方程為y=k(x+4),與橢圓聯(lián)立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,由此利用韋達定理、直線垂直,結(jié)合題意能求出結(jié)果.(3)OM的方程可設(shè)為y=kx,與橢圓聯(lián)立得M點的橫坐標為 ,由OM∥l,能求出結(jié)果.

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