Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，左頂點(diǎn)為A（﹣4，0），過點(diǎn)A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；
（3）若過O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，左頂點(diǎn)為A（﹣4，0），

∴a=4，又 ，∴c=2．…（2分）

又∵b2=a2﹣c2=12，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

（2）解：直線l的方程為y=k（x+4），

由 消元得， ．

化簡得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，

∴x1=﹣4， ．…（6分）

當(dāng) 時(shí)， ，

∴ ．

∵點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴P的坐標(biāo)為 ，

則 ．…（8分）

直線l的方程為y=k（x+4），令x=0，得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），

假設(shè)存在定點(diǎn)Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，

則kOPkEQ=﹣1，即 恒成立，

∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴ ，即 ，

∴定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（3）解：∵OM∥l，∴OM的方程可設(shè)為y=kx，

由 ，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，

由OM∥l，得

=

= ，

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)，

∴當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率和左頂點(diǎn)，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯(lián)立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．（3）OM的方程可設(shè)為y=kx，與橢圓聯(lián)立得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，由OM∥l，能求出結(jié)果．