Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（1）設(shè)的坐標(biāo)，利用和求得c，通過(guò)橢圓的離心率求得a，最后利用a,b和c的關(guān)系求出b，則橢圓的方程可得.

（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)， ，則可根據(jù)韋達(dá)定理表示出和，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則可表示出，利用，求出m的值

試題解析：（1）設(shè)， ， ，則由，得；

由得，

即.

所以.

又因?yàn)?/span>，所以.

因此所求橢圓的方程為： .

（2）設(shè)動(dòng)直線的方程為： ，

由得.

設(shè)， ，則， .

假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則， .

由假設(shè)得對(duì)于任意的， 恒成立，

即解得.

因此，在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為.