Question

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸上，拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為l．直線l：y=kx+b與拋物線交于B，C兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）當直線OB，OC的傾斜角之和為45°時，證明直線l過定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設拋物線方程為y²=2px，由拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為l，利用拋物線的定義，求出p，即可得到拋物線的方程；
（2）直線l：y=kx+b與拋物線聯(lián)立，設直線OB，OC的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，則α+β=45°，利用tan（α+β）=

k1+k2

1-k1k2

=tan45°=1，代入斜率，可得直線l的方程為y=kx+4k+4，即可得出直線l過定點．

解答： （1）解：設拋物線方程為y²=2px（p＞0
由拋物線的定義知|AF|=1+

p

2

，又|AF|=2…（2分）
所以p=2，所以拋物線 的方程為y²=4x…（4分）
（2）證明：設B（

y 2 1

4

，y₁），C（

y 2 2

4

，y₂）
聯(lián)立

y2=4x y=kx+b

，整理得ky²-4y+4b=0（依題意k≠0），
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

．…（6分）
設直線OB，OC的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k₁，k₂，則α+β=45°，
tan（α+β）=

k1+k2

1-k1k2

=tan45°=1，…（8分）
其中k₁=

y1

x1

=

4

y1

，k₂=

4

y2

，代入上式整理得y₁y₂-16-（y₁+y₂）=0
所以

4b

k

-16=

16

k

，即b=4k+4…（10分）
直線l的方程為y=kx+4k+4，整理得y-4=k（x+4），
所以直線l過定點（-4，4）…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查和角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．