Question

如圖：已知平面α∥平面β，點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，點(diǎn)C、D在β內(nèi)，直線AB與CD是異面直線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面β．

Answer 1

證：（Ⅰ）∵點(diǎn)E、F是線段AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，
又∵G、H是線段BD、AD的中點(diǎn)，∴GH∥AB，
∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）∵平面α∥平面β，點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)，∴AB∥平面α
設(shè)平面ABC與平面β的交線為CP，
∵直線AB與CD是異面直線，
∴CP與CD是交線，
∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，
∴EF∥CP，∴EF∥平面β，
∵點(diǎn)E、H是線段AC、AD的中點(diǎn)，
∴EH∥CD，∴EH∥平面β，
因此：平面EFGH∥平面β．