Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}sinx，cos2x$），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出它的最小正周期；
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)增、單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)2x-$\frac{π}{6}$的取值范圍，求出f（x）的最大值為1，且無最小值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}sinx，cos2x$），x∈R，
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z；
同理，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1；
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{3}$，此時(shí)f（x）取得最大值1；
且f（x）無最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合題．