Question

如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，D是AB的中點(diǎn)，且PA=1，AN=BN=CN=

2

．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）求異面直線(xiàn)CD與PB所成角的大�。�
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可知，只需證直線(xiàn)與平面中的兩條相交直線(xiàn)垂直即可；
（2）先通過(guò)平移將兩條異面直線(xiàn)平移到同一個(gè)起點(diǎn)D，得到的銳角或直角就是異面直線(xiàn)所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）先在圖形中找出面PBC的垂線(xiàn)，再在直角三角形中求垂距離即可．

解答：解：（1）∵AN⊥BC，且AN=BN=CN=

2

，
∴AB=AC且AB⊥AC．（2分）
∵PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC內(nèi)的射影．
∵PB⊥AC．（5分）

（2）取PA的中點(diǎn)M，連接DM，CM，則DM∥PB．
∴∠CDM是異面直線(xiàn)CD與PB所成的角．（7分）
由（1）可求得AB=AC=2，
在△CDM中，
DM=

1

2

AB=

5

2

，
CD=

AC2+AD2

=

5

．
CM=

AC2+AM2

=

17

2

．cosCDM=

CD2+DM2-CM2

2CD•DM

=

2

5

．
所以異面直線(xiàn)CD與PB所成角的大小為arccos

2

5

．（9分）

（3）連接PN．
∵PA⊥平面ABC，
又由已知可得CN⊥平面PAN，
∴平面PAN⊥平面ABC．
過(guò)A點(diǎn)作AH⊥PN于H，
則AH⊥平面PBC．
∴AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面PBC的距離．（11分）
由已知可得BC=2

2

．
∵PA⊥平面ABC．
∴PA⊥AN．
又PN=

PA2+AN2

=

3

，
在Rt△PAN中，
有AH=

PA•AN

PN

=

2

3

=

6

3

．
即點(diǎn)A到平面PBC的距離是

6

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線(xiàn)所成的角，以及點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．