Question

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，

x

=k

a

+

b

，

y

=

a

-3

b

．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，

x

⊥

y

；
（2）若

x

與

y

的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意，可先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量

x

=k

a

+

b

，

y

=

a

-3

b

的坐標(biāo)
（1）本小題可由兩向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為向量的內(nèi)積為0，由此方程解 k的值；
（2）本小題題設(shè)條件是向量夾角為鈍角，故向量的數(shù)量積為負(fù)，轉(zhuǎn)化此條件時(shí)要注意，兩向量共線反向的情況，此時(shí)數(shù)量積也是負(fù)值，注意排除向量反向共線的情況，由此，向量

x

與

y

的夾角為鈍角，可轉(zhuǎn)化為

cosθ= x • y | x || y | ＜0 不共線

，由此解出實(shí)數(shù)k的取值范圍

解答：解：由題意，

x

=k

a

+

b

=(k-3，2k+2)，

y

=

a

-3

b

=(10，-4)（1分）
（1）∵

x

⊥

y

，
∴

x

•

y

=0，即10（k-3）-4（2k+2）=0，解得2k=38，
∴k=19（6分）
（2）由于

x

•

y

=2k-38，又兩向量的夾角為鈍角，所以cosθ=

x • y

| x || y |

＜0，
∴2k-18＜0，即k＜19（10分）
但此時(shí)

π

2

＜θ＜π，
∴

x

與

y

不共線，
若

x

若

y

共線，則有-4（k-3）-10（2k+2）=0，∴k=-

1

3

．
故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜19且k≠-

1

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的共線條件，夾角的向量表示，兩向量垂直的條件，綜合利用這些知識(shí)對(duì)題設(shè)中的條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化是解本題的重點(diǎn)，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是夾角為鈍角這一條件的轉(zhuǎn)化，易因?yàn)橥�記排除兩向量反向共線而導(dǎo)致增解．解題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化等價(jià)性的驗(yàn)證