20．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a17成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn．

分析 （1）設(shè)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，其又首項(xiàng)為1，a1，a3，a17成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得（a1+2d）2=a1•（a1+16d），求得公差d的值，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知an=3n-2，利用裂項(xiàng)法可得bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），累加即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

解答 解：（1）數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則an=1+（n-1）d．
因?yàn)閍1，a3，a17成等比數(shù)列，
所以（a1+2d）2=a1•（a1+16d），
即（1+2d）2=1×（1+16d），解得d=3，
所以an=3n-2．
（2）因?yàn)閎n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
所以Sn=b1+b2+…+bn=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，突出裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．如圖，在△ABC中，AB⊥BC，∠BDA=90°，E是BC的中點(diǎn)．求證：∠ABD=∠EDC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．一臺(tái)機(jī)器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果：
轉(zhuǎn)速x（轉(zhuǎn)/秒-1）1614128
每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y（件）11985
（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；
（2）已知y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸方程；
（3）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
附：線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$．中，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．A為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$2\overrightarrow{AO}$，
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{2}$），求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的一條直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BC}$，直線OA，OB的斜率之積-$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）在（1）的條件下，是否存在定圓M，使得過(guò)圓M上任意一點(diǎn)T都能作出該橢圓的兩條切線，且這兩條切線互相垂直？若存在，求出定圓M；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx與g（x）=log4（a•2x-$\frac{4}{3}$a），其中f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)g（x）的定義域；
（Ⅲ） 若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．已知圓O：x2+y2=4與曲線C：y=3|x-t|，曲線C上兩點(diǎn)A（m，n），B（s，p）（m、n、s、p均為正整數(shù)），使得圓O上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值k（k＞1），則ms-np=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（2，2）．
（1）求拋物線的C的方程；
（2）求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，下列命題中，
①若a＞b，c＞d，則a-c＞b-d；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；
③若a＞b＞0，則$\root{3}{a}$＞$\root{3}$
④若a＞b＞0，則$\frac{1}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{^{2}}$
真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

3．在長(zhǎng)為3的線段上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離都不小于1的概率為（　�。�
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{4}{9}$D．$\frac{5}{9}$

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