Question

20．已知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a₁，a₃，a₁₇成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，其又首項為1，a₁，a₃，a₁₇成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得（a₁+2d）²=a₁•（a₁+16d），求得公差d的值，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=3n-2，利用裂項法可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），累加即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則a_n=1+（n-1）d．
因為a₁，a₃，a₁₇成等比數(shù)列，
所以（a₁+2d）²=a₁•（a₁+16d），
即（1+2d）²=1×（1+16d），解得d=3，
所以a_n=3n-2．
（2）因為b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，求得數(shù)列{a_n}的通項公式是關(guān)鍵，突出裂項法求和的應(yīng)用，屬于中檔題．