Question

【題目】已知點是拋物線上一點，為的焦點．

（1）若，是上的兩點，證明：，，依次成等比數(shù)列.

（2）過作兩條互相垂直的直線與的另一個交點分別交于，(在的上方），求向量在軸正方向上的投影的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由在拋物線上求P,再利用焦半徑公式求，，，再利用等比數(shù)列定義證明即可（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，由，求k的范圍，并求得P坐標(biāo)，同理求得Q坐標(biāo)，則向量在軸正方向上的投影為，求函數(shù)的范圍即求得結(jié)果

（1）證明：在拋物線上，，.

，，，

，，依次成等比數(shù)列.

(2)設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得

則 ，，

設(shè) ，，則，即

在的上方，則.

以代，得，

則向量在軸正方向上的投影為，

設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，

故向量在軸正方向上的投影的取值范圍為.