Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cos22x﹣2，給出下列命題： ①β∈R，f（x+β）為奇函數(shù)；
②α∈（0， ），f（x）=f（x+2α）對(duì)x∈R恒成立；
③x1 ， x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，則|x1﹣x2|的最小值為 ；
④x1 ， x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，則x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命題有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1； 對(duì)于①，∵f（x）=cos4x﹣1的圖象如圖所示；
函數(shù)f（x+β）的圖象是f（x）的圖象向左或向右平移|β|個(gè)單位，
它不會(huì)是奇函數(shù)的，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，
∴8α=2kπ，∴α= ，k∈Z；
又α∈（0， ），∴取α= 或 時(shí)，
∴f（x）=f（x+2α）對(duì)x∈R恒成立，②正確；
對(duì)于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2時(shí)，
|x1﹣x2|的最小值為 = = ，∴③正確；
對(duì)于④，當(dāng)f（x1）=f（x2）=0時(shí)，
x1﹣x2=kT=k = （k∈Z），∴④錯(cuò)誤；
綜上，真命題是②③．
故選：C．

化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），畫(huà)出f（x）的圖象，根據(jù)圖象平移判斷函數(shù)f（x+β）不是奇函數(shù)，判斷①錯(cuò)誤；
根據(jù)f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0， ）的解，判斷②正確；
由|f（x1）﹣f（x2）|=2時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 = ，判斷③正確；
當(dāng)f（x1）=f（x2）=0時(shí)，x1﹣x2=kT= ，判斷④錯(cuò)誤．