Question

已知g_n（x）+1=

n

k=1

xn

k2

（x∈R，n∈N^*），則下列說法正確的是（　�。�
①g_n（x）關(guān)于點(diǎn)（0，-1）成中心對稱．
②g_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
③當(dāng)n取遍N^*中所有數(shù)時(shí)不可能存在c∈[

2

3

，1]使得g_n（c）=0．

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、②

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：①由g_n（-x）+g_n（x）+2=

x2

2

+

x4

4

+…≠0，可得g_n（x）關(guān)于點(diǎn)（0，-1）不成中心對稱．
②由于x∈（0，+∞），可得

g

′ n

(x)=1+

x

2

+

x2

3

+…+

xn-1

n

＞0，即可得出g_n（x）在（0，+∞）單調(diào)性．
③當(dāng)n=1，g₁（x）+1=x，假設(shè)存在c∈[

2

3

，1]使得g₁（c）=c-1=0，解得c=1．當(dāng)n=2，g₂（x）+1=x+

x2

4

，假設(shè)存在c∈[

2

3

，1]使得g₂（c）=x+

x2

4

-1=0，解得c=-2±2

2

≠1．即可判斷出．

解答： 解：①∵g_n（-x）+g_n（x）+2=

x2

2

+

x4

4

+…≠0，∴g_n（x）關(guān)于點(diǎn)（0，-1）不成中心對稱．
②∵x∈（0，+∞），∴

g

′ n

(x)=1+

x

2

+

x2

3

+…+

xn-1

n

＞0，∴g_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
③當(dāng)n=1，g₁（x）+1=x，假設(shè)存在c∈[

2

3

，1]使得g₁（c）+1=c，g₁（c）=c-1=0，解得c=1．
當(dāng)n=2，g₂（x）+1=x+

x2

4

，假設(shè)存在c∈[

2

3

，1]使得g₂（c）=x+

x2

4

-1=0，解得c=-2±2

2

≠1．
因此當(dāng)n取遍N^*中所有數(shù)時(shí)不可能存在c∈[

2

3

，1]使得g_n（c）=0．
綜上可知：只有②正確．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．