Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，，a∈R．
（1）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），討論F（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若-2≤a≤1，求證：對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂時(shí)，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷，先求函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若左正右負(fù)為極大值，若左負(fù)右正為極小值，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為極大值的個(gè)數(shù)加極小值的個(gè)數(shù)．
（2）欲證，用分析法，只需尋找成立的充分條件即可，最終找到只需證明在x∈[1，2]上恒成立，再把看成關(guān)于a的一次函數(shù)，當(dāng)a∈[-2，1]時(shí)，兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值都大于0，所以當(dāng)-2≤a≤1時(shí)，恒成立，原命題成立
解答：解：（1），F(xiàn)'（x）=e^x-a-x，F(xiàn)''（x）=e^x-1，令F''（x）=0，得x=0
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，F(xiàn)''（x）＜0，從而F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)''（x）＞0，從而F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以F′（x）_min=F′（0）=1-a，
當(dāng)F′（x）_min=1-a≥0，即a≤1時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，F(xiàn)（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)F′（x）_min=1-a＜0，即a＞1時(shí)，（又x→-∞，F(xiàn)′（x）→+∞，x→+∞，F(xiàn)′（x）→+∞）F（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)
（2）證明：???在[1，2]上單調(diào)遞增?在x∈[1，2]上恒成立
令，關(guān)于a是一次函數(shù)．
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=e^x-1-x≥0，（由F'（x）=e^x-a-x≥1-a得）
所以在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命題成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，單調(diào)區(qū)間，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．