Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，橢圓與y軸負半軸的交點為（0，-1）．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點D（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于A、B兩點．問：是否存在k的值，使DA⊥DB？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率e=

6

3

，橢圓與y軸負半軸的交點為（0，-1），解得a²=3，由此能求出橢圓方程．
（2）可假設存在這樣的K的值，使DA⊥DB，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．利用垂直成立的條件建立方程求出參數(shù)K．

解答：解：（1）依題意

c a = 6 3 b=1 a2=b2+c2

，解得a²=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．（4分）
（2）假若存在這樣的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

，②（6分）
而y1•y2=(kx1+2)•(kx2+2)=k2x1x2+2k（x₁+x₂）+4．        
當DA⊥DB時，則

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0，③（10分）
將②式代入③整理解得k=

7

6

．經(jīng)驗證，k=

7

6

，使①成立．
∴存在k=

7

6

，使DA⊥DB．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，探索是否存在直線的斜率，使得兩直線垂直．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．注意直線和橢圓位置關系的靈活運用．