Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)

a

∥

b

時，求

cos2x-sin2x

cos2x

的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，求f（x）在[0，

7π

24

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量的共線的坐標(biāo)表示，和二倍角公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，即可求出答案，注意化成正切；
（2）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及二倍角公式和正弦的和角公式，化簡得到

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求出取值范圍．

解答： 解：（1）∵當(dāng)

a

∥

b

時，
∴

3

4

cos x+sin x=0，
∴tan x=-

3

4

．
∴

cos2x-sin2x

cos2x

=

cos2x-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

1-2tanx

1-tan2x

=

40

7

．
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx，-

1

4

）•（cosx，-1）=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
∵x∈[0，

7π

24

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

6

]．∴

1

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴

2 +3

2

≤f（x）≤

2

+

3

2

．

點評：本題考查向量的共線坐標(biāo)表示、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時考查三角函數(shù)的化簡、求值，注意正、余弦的和差公式以及二倍角公式的運用．