Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過點(diǎn)F₁且垂直于x軸的雙曲線的弦．
（1）若∠PF₂Q=90°，求該雙曲線的離心率；
（2）若△PF₂Q是銳角三角形，求該雙曲線的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)PQ是經(jīng)過F₁且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF₂Q=90°，可得|PF₁|=|F₁F₂|，從而可得e的方程，即可求得雙曲線的離心率；
（2）若△PF₂Q是銳角三角形，則由于△PF₂Q是等腰三角形，故只要∠PF₂Q為銳角即可，考慮求出

F2P

=（-2c，

b2

a

），

F2Q

=（-2c，-

b2

a

），再由數(shù)量積大于0，得到a，b，c的方程，再由離心率的公式，得到e²-2e-1＜0，解出即可．

解答： 解：（1）∵PQ是經(jīng)過F₁且垂直于x軸的雙曲線的弦，∠PF₂Q=90°，
∴|PF₁|=|F₁F₂|，
令x=-c，代入雙曲線方程得，y=±b

c2 a2 -1

=±

b2

a

，
∴

b2

a

=2c，
再由b²=c²-a²，e=

c

a

，即有e²-2e-1=0，
∴e=1±

2

∵e＞1∴e=1+

2

故該雙曲線的離心率為1+

2

；
（2）若△PF₂Q是銳角三角形，則由于△PF₂Q是等腰三角形，
故只要∠PF₂Q為銳角即可，由（1）得，P（-c，

b2

a

），Q（-c，-

b2

a

），
F₂（c，0），

F2P

=（-2c，

b2

a

），

F2Q

=（-2c，-

b2

a

），
由∠PF₂Q為銳角即為

F2P

•

F1P

＞0，
即有4c²-

b4

a2

＞0，即2ac＞c²-a²，
即e²-2e-1＜0，解得，1-

2

＜e＜1+

2

，
由于e＞1，則有1＜e＜1+

2

．
故該雙曲線的離心率的范圍是（1，1+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積解決角為銳角的問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．