Question

已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，則

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

的最小值為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  8

  3

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+（2-λ）y+λy=6．變形為∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

=

1

6

[2x+(2-λ)y+λy][

2

2x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

]，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，x+y=3，
∴2x+（2-λ）y+λy=6．
∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

=

1

6

[2x+(2-λ)y+λy][

2

2x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

]
≥

1

3

•3

3	2x•(2-λ)y•λy

•3

3	1 2x • 1 (2-λ)y • 1 λy

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=（2-λ）y=λy，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1時(shí)取等號(hào)．
∴

1

x

+

2

(2-λ)y

+

2

λy

的最小值為3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．