Question

在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，一直曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），l與C分別交于M，N．
（1）寫出C的平面直角坐標(biāo)系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，對于曲線C：根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)變換公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，方程ρsin²θ=2acosθ（a＞0），兩邊同乘以ρ，化成直角坐標(biāo)方程，對于直線l：消去參數(shù)t即可得到普通方程；
（2）首先，聯(lián)立方程組

y2=2ax x-y-2=0

，消去y整理，然后，設(shè)點(diǎn)M，N分別對應(yīng)參數(shù)t₁，t₂，從而，得到|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|，然胡，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，建立含有a的關(guān)系式，求解a的取值．

解答： 解：（1）∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

，
方程ρsin²θ=2acosθ（a＞0），兩邊同乘以ρ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=2ax（a＞0）；
直線l的普通方程為x-y-2=0．
（2）聯(lián)立方程組

y2=2ax x-y-2=0

，
消去y并整理，得
t²-2（4+a）

2

t+8（4+a）=0  （*）
△=8a（4+a）＞0．
設(shè)點(diǎn)M，N分別對應(yīng)參數(shù)t₁，t₂，恰為上述方程的根．
則|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|．
由題設(shè)得（t₁-t₂）²=|t₁t₂|，
即（t₁+t₂）²-4t₁t₂=|t₁t₂|．
由（*）得t₁+t₂=2（4+a）

2

，t₁t₂=8（4+a）＞0，則有
（4+a）²-5（4+a）=0，得a=1，或a=-4．
∵a＞0，
∴a=1．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程和普通方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．