Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．己知直線l的參數(shù)方程為

x=t y=at

（t為參數(shù)），曲線C₁的方程為ρ=4sinθ．若線段OQ的中點P始終在C₁上．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C₂的極坐標(biāo)方程：
（Ⅱ）直線l與曲線C₂交于A，B兩點，若丨AB丨≥4

2

，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)點Q（ρ₁，θ），則ρ₁=2ρ=8sinθ，即可得出；
（2）由題意，A，B兩點中必有一個是極點，不妨設(shè)A為極點，則B（ρ，θ），可得ρ≥4

2

，可得sinθ≥

2

2

，|tanθ|≥1，解出即可．

解答： 解：（1）設(shè)點Q（ρ₁，θ），則ρ₁=2ρ=8sinθ，
故點Q的軌跡C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ；
（2）由題意，A，B兩點中必有一個是極點，不妨設(shè)A為極點，則B（ρ，θ），由題，ρ≥4

2

，
即8sinθ≥4

2

，∴sinθ≥

2

2

，
∴|tanθ|≥1，
則a=tanθ∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點評：本題考查了極坐標(biāo)方程、中點坐標(biāo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．