【題目】已知點F為拋物線Ey22pxp0)的焦點,點A2,m)在拋物線E上,且|AF|3

1)求拋物線E的方程;

2)已知點G(﹣10),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

【答案】1y24x;(2)證明見解析

【解析】

1)由拋物線定義可得:|AF|23,解得p.即可得出拋物線E的方程.

2)由點A2,m)在拋物線E上,解得m,不妨取AF1,0),可得直線AF的方程,與拋物線方程聯(lián)立化為2x25x+20,解得B.又G(﹣10),計算kGAkGB,可得kGA+kGB0,∠AGF=∠BGF,即可證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

解法一:(1)由拋物線定義可得:|AF|23

解得p2

∴拋物線E的方程為y24x;

2)∵點A2,m)在拋物線E上,

m24×2,

解得m

不妨取A,F1,0),

∴直線AF的方程:y2x1),

聯(lián)立,化為2x25x+20,

解得x2,B

G(﹣10),

kGAkGB

kGA+kGB0,

∴∠AGF=∠BGF,∴x軸平分∠AGB,

因此點F到直線GA,GB的距離相等,

∴以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

解法二:(1)同解法一.

2)點A2m)在拋物線E上,

m24×2,解得m,不妨取A,F1,0),

∴直線AF的方程:y2x1),

聯(lián)立,化為2x25x+20,

解得x2,B

G(﹣10),

可得直線GAGB的方程分別為:x3y+20,0,

F1,0)到直線GA的距離d

同理可得點F1,0)到直線GB的距離

因此以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

練習冊系列答案
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組號

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

分組

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[60,70)

[70,80)

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A.B.C.D.

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