若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上的導函數(shù)為f′(x),且不等式xf′(x)>f(x)恒成立,又常數(shù)a,b滿足a>b>0,則下列不等式一定成立的是
 

①bf(a)>af(b);②af(a)>bf(b);③bf(a)<af(b);④af(a)<bf(b).
分析:構造g(x)=
f(x)
x
(x>0),求導數(shù)g′(x),利用利用導數(shù)判定g(x)的單調性,可以得出結論.
解答:解:令g(x)=
f(x)
x
(x>0),則g′(x)=
xf(x)-f(x)
x2
(x>0);
又∵xf′(x)>f(x),∴g′(x)>0;
∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又∵a>b>0,
∴g(a)>g(b),即
f(a)
a
f(b)
b

∴bf(a)>af(b).
故答案為:①.
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及構造函數(shù)來解題的方法,是易錯題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知變量t,y滿足關系式loga
t
a3
=logt
y
a3
,a>0且a≠1,t>0且t≠1,變量t,x滿足關系式t=ax,變量y,x滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)表達式;
(2)若函數(shù)y=f(x)在[2a,3a]上具有單調性,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
38
x2-2x+2+ln x.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)在[em,+∞)(m∈Z)上有零點,求m的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax-3a.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當函數(shù)f(x)在[1,2]上的最大值為4時,求實數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(2x)=x2-2ax+3
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式
(2)若函數(shù)y=f(x)在[
12
,8]上的最小值為-1,求a的值.

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