已知O為△ABC的外心，AB=2a，AC=
2
a
（a＞0），∠BAC=120°，若
AO
=x
AB
+y
AC
（x，y為實(shí)數(shù)），則x+4y的最小值為
 
．
考點(diǎn)：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：根據(jù)幾何圖形求解出O點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出
AB
，
AC
的坐標(biāo)，再由
AO
=x
AB
+y
AC
（x，y為實(shí)數(shù)）運(yùn)用向量的坐標(biāo)相等求解出x，y的值，得出x+4y=
1
3
×（
1
a2
+4a2）+
10
3
運(yùn)用基本不等式求解即可得出最小值．
解答： 解：∵O為△ABC的外心，AB=2a，AC=
2
a
（a＞0），∠BAC=120°
∴建立坐標(biāo)系如圖：過O作AB的垂直平分線，垂足為E，
A（0，0），C（
2
a
，0），B（-a，
3
a），E（-
a
2
，
3
a
2
），O（，
1
a
，m）

∵∠BAC=120，
∴
m-
3
a
2
1
a
+
a
2
=
3
3
，
化簡多得出：m=
3
3a
+
2
3
a
3
，
∴O（
1
a
，
3
3a
+
2
3
a
3
）
∴
AC
=（
2
a
，0），
AB
=（-a，
3
a），
AO
=（
1
a
，
3
3a
+
2
3
a
3
），
∵
AO
=x
AB
+y
AC
（x，y為實(shí)數(shù)），
∴
1
a
=-ax+
2y
a
3
3a
+
2
3
3
a=
3
xa
解得：x=
1
3a2
+
2
3
，2y=
4
3
+
2
3
a2，
∴x+4y=
1
3
×（
1
a2
+4a2）+
10
3
≥
1
3
×4+
10
3
=
14
3

x+4y的最小值為：
14
3
，
故答案為：
14
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合基本不等式求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解向量的坐標(biāo)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=xa+b，x∈（0，+∞）是增函數(shù)，則（　�。�
A、a＞0，b是任意實(shí)數(shù)
B、a＜0，b是任意實(shí)數(shù)
C、b＞0，a是任意實(shí)數(shù)
D、b＜0，a是任意實(shí)數(shù)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：若x＞10，則x＞1，那么命題p的逆否命題為（　　）
A、若x≤10，則x≤1
B、若x＞1，則x＞10
C、若x≤1，則x≤10
D、若x＞10，則x≤1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），且g（x）=ax（a＞0且a≠1）與y=log3x互為反函數(shù)．
（1）求f（x），g（x）；
（2）y=f（g（x））-m在x∈（-1，2]上有零點(diǎn)，求m取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線y=x與圓x2+（y-1）2=r2相切，求r的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是周期為3的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，
3
2
]時(shí)，f（x）=sin（πx），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax（0＜a＜1），對(duì)于下列命題：
①若x＞0，則0＜f（x）＜1；②若x＜1，則f（x）＞a；③若f（x1）＞f（x2），則x1＜x2
其中正確的命題（　�。�
A、有3個(gè)B、有2個(gè)
C、有1個(gè)D、不存在

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)矩陣M=
1a
b1
，若曲線C：x2+4xy+2y2=1在矩陣M的作用下變換成曲線C'：x2-2y2=1，則矩陣Mn=
 
．（n∈N*）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）=sin
x+Φ
3
，Φ∈[0，2π]是偶函數(shù)，則Φ=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案