Question

已知f（x）=x²+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），且g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與y=log₃x互為反函數(shù)．
（1）求f（x），g（x）；
（2）y=f（g（x））-m在x∈（-1，2]上有零點(diǎn)，求m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得-

b

2

=

1+x+1-x

2

=1，由此能求出f（x）=x²-2x+4．由g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與y=log₃x互為反函數(shù)，能求出g（x）．
（2）y=f（g（x））-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，由已知得[（3^-1）²-2•3^-1+4-m]•[（3²）²-2•3²+4-m]＜0，由此能求出m取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+4滿足f（1+x）=f（1-x），
∴-

b

2

=

1+x+1-x

2

=1，
解得b=-2，
∴f（x）=x²-2x+4．
∵g（x）=a^x（a＞0且a≠1）與y=log₃x互為反函數(shù)，
∴g（x）=3^x．
（2）y=f（g（x））-m
=f（3^x）-m
=（3^x）²-2•3^x+4-m，
∴y=（3^x）²-2•3^x+4-m在在x∈（-1，2]上有零點(diǎn)，
∴[（3^-1）²-2•3^-1+4-m]•[（3²）²-2•3²+4-m]＜0，
解得

31

9

＜m＜67．
∴m取值范圍是（

31

9

，67）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．