Question

9．在如圖所示的幾何體中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥EM；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積
（Ⅲ）求直線DE與平面EMC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由EA⊥平面ABC，結合線面垂直的判定可得平面EAM⊥平面ABC，由已知可得CM⊥AB，再由線面垂直的性質得到CM⊥平面CAM，進一步得到CM⊥EM；
（Ⅱ）由EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，可得四邊形ABDE為直角梯形，由（Ⅰ）知CM⊥平面ABDE，再由棱錐體積公式求得多面體ABCDE的體積；
（Ⅲ）連結MD，解三角形可得DM⊥EM．再由CM⊥平面EMD得CM⊥DM，則DM⊥平面EMC，可得∠DEM是直線DE和平面EMC所成的角，則其正切值可求．

解答 （Ⅰ）證明：∵EA⊥平面ABC，EA?平面EAM，
∴平面EAM⊥平面ABC，且平面EAM∩平面ABCAB．
∵AC=BC，M是AB的中點，∴CM⊥AB，
則CM⊥平面CAM，
∴CM⊥EM；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，
∴四邊形ABDE為平面圖形，且為直角梯形，
由（Ⅰ）知CM⊥平面ABDE，
∵AC=BC=BD=2AE=2，
∴多面體ABCDE的體積V=V_C-ABDE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$；
（Ⅲ）解：連結MD，∵AC=BC=BD=2AE=2，
在直角梯形EABD中，AB=$2\sqrt{2}$，M是AB的中點．
∴EM=$\sqrt{3}$，MD=$\sqrt{6}$，DE=3，
由EM²+MD²=DE²，得DM⊥EM．
∵CM⊥平面EMD，∴CM⊥DM，得DM⊥平面EMC，
∴∠DEM是直線DE和平面EMC所成的角．
在Rt△EMD中，tan∠DEM=$\frac{MD}{EM}=\sqrt{2}$．
∴直線DE與平面EMC所成的角的正切值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查多面體體積的求法，訓練了線面角的求法，屬中檔題．