Question

19．如圖所示，已知某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是1，表面積為$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，該幾何體是四棱錐，底面ABCD為直角梯形，BC=2AD=2，BC⊥DC，PA⊥平面ABCD，PA=1，CD=2．然后由體積公式及梯形和隨機(jī)現(xiàn)象面積公式求解．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體是四棱錐，底面ABCD為直角梯形，BC=2AD=2，
BC⊥DC，PA⊥平面ABCD，PA=1，CD=2．
△PAB、△PAD、△PDC為直角三角形，△PBC為等腰三角形，可得PB=PC=$\sqrt{6}$．
PE為△PBC底邊BC上的高，PE=$\sqrt{5}$．
∴該幾何體的體積是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×1=1$；
表面積為$\frac{1}{2}（1+2）×2+\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1$$+\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$$+\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$=$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．
故答案為：1；$\frac{7}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積與表面積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．