Question

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中點(diǎn)，AA′=AB=2
（1）求證：A′C∥平面AB′D；
（2）求二面角D一AB′一B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)A′B，交AB′于O，連結(jié)OD，在△A′BC中，OD是中位線，由此能證明A′C∥平面AB′D．
（2）過D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，連結(jié)DE，則∠DEF為二面角D-AB′-B的平面角，由此能求出二面角D一AB′一B的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)A′B，交AB′于O，連結(jié)OD，
在△A′BC中，∵OD是中位線，
∴OD∥A′C，
∵OD?平面AB′D，A′C不包含于平面AB′D，
∴A′C∥平面AB′D．
（2）解：正三棱柱ABC-A′B′C′中，
面BB′A′A⊥面ABC，過D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，
連結(jié)DE，則∠DEF為二面角D-AB′-B的平面角，
∵D是BC的中點(diǎn)，AA′=AB=2，
∴AD=

4-1

=

3

，DB′=

4+1

=

5

，AB′=

4+4

=2

2

，
∴DE=

AD•DB′

AB′

=

3 • 5

2 2

=

30

4

，
EF=

3BO

4

=

3 2

4

，
∴cos∠DEF=

EF

ED

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
∴二面角D一AB′一B的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．