Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤a}\\{{x}^{2}，x＞a}\end{array}\right.$．若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)y=f（x）-bx恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則只需讓g（x）=b存在唯一一個(gè)非零解即可．討論a的范圍，作出g（x）的圖象，根據(jù)圖象判斷即可得出結(jié)論．

解答 解：顯然x=0必為f（x）-bx的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)x≠0時(shí)，令f（x）-bx=0得b=$\frac{f（x）}{x}$，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤a}\\{x，x＞a}\end{array}\right.$，則b=g（x）存在唯一一個(gè)非零解．
當(dāng)a＜0時(shí)，作出g（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：

顯然當(dāng)a＜b＜a²且b≠0時(shí)，g（x）=b總存在唯一一個(gè)非零解，符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

若要使b=g（x）存在唯一一個(gè)非零解，則a＞a²，解得0＜a＜1．
同理，當(dāng)a=0時(shí)，顯然g（x）=b無(wú)非零解，
綜上，a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）．
故答案為：（-∞，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與哈數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．