Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβ}\\{y=1+sinβ}\end{array}\right.$（β為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C₁和曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）已知射線l₁：θ=α（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$），將射線l₁順時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α-$\frac{π}{6}$，且射線l₁與曲線C₁交于兩點，射線l₂與曲線C₂交于O，Q兩點，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，從而能求出曲線C₁的極坐標(biāo)方程．由曲線C₂的參數(shù)方程能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，從而能求出曲線C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點P的極坐標(biāo)為P（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα，設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（${ρ}_{2}，α-\frac{π}{6}$），即${ρ}_{2}=2sin（α-\frac{π}{6}）$，mh|OP|•|OQ|=ρ₁•ρ₂=2cos$α•2sin（α-\frac{π}{6}）$=2sin（2$α-\frac{π}{6}$）-1，能求出|OP|•|OQ|的最大值．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
即x²+y²-2x=0，
∴曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβ}\\{y=1+sinβ}\end{array}\right.$（β為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）設(shè)點P的極坐標(biāo)為P（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα，
設(shè)點Q的坐標(biāo)為Q（${ρ}_{2}，α-\frac{π}{6}$），即${ρ}_{2}=2sin（α-\frac{π}{6}）$，
∴|OP|•|OQ|=ρ₁•ρ₂=2cos$α•2sin（α-\frac{π}{6}）$=4cosα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$α-\frac{1}{2}cosα$）
=2$\sqrt{3}$sinαcosα-2cos²α=$\sqrt{3}sin2α$-cos2α-1=2sin（2$α-\frac{π}{6}$）-1，
∵α∈（$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$），∴$2α-\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），
當(dāng)2$α-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$時，|OP|•|OQ|取最大值1．

點評 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段積的最大值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．