Question

8．2016年皖智教育聯(lián)盟第一次聯(lián)考后，為分析數(shù)學(xué)考試成績隨機抽取20名同學(xué)的成績統(tǒng)計如下：

分數(shù)段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	總計
頻數(shù)	2	5	8	3	2	20
頻率	0.10	0.25	0.40	0.15	0.10	1

（Ⅰ）完成上述表格，并根據(jù)上述數(shù)據(jù)估算這20名職工的平均成績；
（Ⅱ）若從這20名同學(xué)中任選3人，求至少有1人的成績在90分以上（含90分）的概率；
（Ⅲ）以頻率估計概率，若在全部參考同學(xué)（假設(shè)樣本容量為無窮大）中作出這樣的測試，且隨機抽取3人，記分數(shù)在110分以上（含110分）的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，計算頻率與頻數(shù)，填寫表格即可，根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出這20名職工的平均成績；
（Ⅱ）用對立事件的概率求出至少有1人的成績在90分以上（含90分）的概率；
（Ⅲ）以題意，X～B（3，$\frac{1}{4}$），計算對應(yīng)的概率，寫出分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，填寫表格如下：

分數(shù)段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	總計
頻數(shù)	2	5	8	3	2	20
頻率	0.10	0.25	0.40	0.15	0.10	1

根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算這20名職工的平均成績?yōu)?br />60×0.10+80×0.25+100×0.40+120×0.15+130×0.10=98；
（Ⅱ）若從這20名同學(xué)中任選3人，至少有1人的成績在90分以上（含90分）的概率為
P=1-$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{221}{228}$；
（Ⅲ）以題意，X～B（3，$\frac{1}{4}$），
所以P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$•$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
所以X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

X的數(shù)學(xué)期望是EX=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)題．