Question

17．已知命題p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；命題q：實(shí)數(shù)t使函數(shù)f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定義域是R．
（Ⅰ）若t=2時(shí)，求命題p中的雙曲線的離心率及漸近線方程；
（Ⅱ）求命題￢p是命題￢q的什么條件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要中的一種），并說明理由．

Answer 1

分析 （I）t=2時(shí)，命題p中的雙曲線為：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，可得a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$．即可得出e=$\frac{c}{a}$，其漸近線方程為y=$±\frac{a}$x．
（II）命題p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-8＜0}\end{array}\right.$，解得t，可得￢p：t≥4，令A(yù)=[4，+∞）；
命題q：實(shí)數(shù)t使函數(shù)f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定義域是R，可得x²-2tx+2t+3＞0對于x∈R恒成立，因此△＜0，解得t．可得：￢q，令B=（-∞，-1]∪[3，+∞）．即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（I）t=2時(shí)，命題p中的雙曲線為：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，∴a²=2，b²=6，c²=a²+b²=8，∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=2$\sqrt{2}$．∴e=$\frac{c}{a}$=2，其漸近線方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
（II）命題p：方程$\frac{{y}^{2}}{4-t}$+$\frac{{x}^{2}}{t-8}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，$\left\{\begin{array}{l}{4-t＞0}\\{t-8＜0}\end{array}\right.$，解得t＜4，￢p：t≥4，令A(yù)=[4，+∞）；
命題q：實(shí)數(shù)t使函數(shù)f（x）=log₂（x²-2tx+2t+3）的定義域是R，∴x²-2tx+2t+3＞0對于x∈R恒成立，∴△=4t²-4（2t+3）＜0，解得-1＜t＜3．
∴￢q：t≤-1，或t≥3．令B=（-∞，-1]∪[3，+∞）．
∵A?B，
∴命題￢p是命題￢q的充分不必要條件．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．