7.解下列三角方程:
(1)2sin2x+$\sqrt{3}$cosx+1=0.
(2)3sin2x+8sinxcosx-3cos2x=0.

分析 (1)由條件可得2cos2x-$\sqrt{3}$cosx-3=0,求得cosx的值,可得x的值.
(2)由題意可得5sin(2x-θ)=0,θ=arcsin$\frac{3}{5}$,故有2x-θ=kπ,k∈Z,由此求得x的值.

解答 解:(1)∵2sin2x+$\sqrt{3}$cosx+1=0,∴3-2cos2x+$\sqrt{3}$cosx=0,即2cos2x-$\sqrt{3}$cosx-3=0 
∴cosx=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$,或cosx=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{27}}{4}$(舍去),∴x=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$,k∈Z.
故原方程的解集為{x|x=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{27}}{4}$,k∈Z}.
(2)∵3sin2x+8sinxcosx-3cos2x=0,∴-3cos2x+4sin2x=0,即5(sin2x$•\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$cos2x)=0,
∴5sin(2x-θ)=0,其中,cosθ=$\frac{4}{5}$,sinθ=$\frac{3}{5}$,θ為銳角,θ=arcsin$\frac{3}{5}$,
∴2x-θ=kπ,k∈Z,∴x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{2}$•arcsin$\frac{3}{5}$,k∈Z.
故原方程的解集為{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{1}{2}$•arcsin$\frac{3}{5}$,k∈Z }.

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換,三角函數(shù)的零點(diǎn),屬于中檔題.

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