Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d有極值．
（Ⅰ）求c的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在x=2處取得極值，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜

1

6

d²+2d恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

解（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+cx+d，
∴f′（x）=x²-x+c，要使f（x）有極值，則方程f′（x）=x²-x+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
從而△=1-4c＞0，
∴c＜

1

4

．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+d，
∵f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1），
∴當(dāng)x∈（-∞，-1]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-1，2]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
∴x＜0時(shí)，f（x）在x=-1處取得最大值

7

6

+d，
∵x＜0時(shí)，f（x）＜

1

6

d2+2d恒成立，
∴

7

6

+d＜

1

6

d2+2d，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范圍是（-∞，-7）∪（1，+∞）．