Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2

3

x3+

1

2

ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)x=2時，f（x）取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值．
（2）高次多項式函數(shù)的單調(diào)性，可以用導(dǎo)數(shù)的知識求解，要使f（x）在（0．+∞）內(nèi)為增函數(shù)，只需在（0．+∞）內(nèi)有
f′（x）=2a²+ax+1≥0即可，

解答：解：f′（x）=2a²+ax+1，
（Ⅰ）由題意：f′（2）=8+2a+1=0
解得a=-

9

2

．（3分）
（Ⅱ）方程2a²+ax+1=0的判別式△=a²-8，
（1）當(dāng)△≤0，即-2

2

≤a≤2

2

時，2a²+ax+1≥0，
f′（x）≥0在（0．+∞）內(nèi)恒成立，此時f（x）為增函數(shù)；
（2）當(dāng)△＞0，即a＜-2

2

或a＞2

2

時，
要使f（x）在（0．+∞）內(nèi)為增函數(shù)，只需在（0．+∞）內(nèi)有2a²+ax+1≥0即可，
設(shè)g（x）=2a²+ax+1，
由

g(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所．a＞2

2

由（1）（2）可知，若f（x）在（0．+∞）內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是[-2

2

，+∞）．（13分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們可以研究字母的取值范圍．這是逆向思維在解題中的使用．對于此類題，要注意分類討論思想在解題中的廣泛應(yīng)用．