Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若x＞0，均有a^x（2﹣lnx）≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）依題意，x＞0，f′（x）=
由f′（x）＞0得，
解得x，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）
由f′（x）＜0得，
解得x，
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，）
∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值為f（）=aln+a=a﹣alna
（II）設(shè)g（x）=a^x（2﹣lnx）=2a^x﹣a^xlnx，
則函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）
g′（x）=2a﹣（a^x+alnx）=a（1﹣lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）的最大值為g（e）=a^e（2﹣lne）=a^e
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，
即g（e）≤1也即a^e≤1，解得 a≤
又∵a＞0
∴0＜a≤