Question

2．在數(shù)列{a_n}及{b_n}中，a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．設c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{_{n}}$，則數(shù)列{c_n}的前2017項和為4034．

Answer 1

分析 由已知可得a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2，a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}）=2{a}_{n}_{n}$，即a_nb_n=2^n-1．代入c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{_{n}}$，求得數(shù)列{c_n}為常數(shù)數(shù)列得答案．

解答 解：∵a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．
∴a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．
∴a_n+b_n=2ⁿ．
另一方面：a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{_{n}}^{2}）=2{a}_{n}_{n}$，
∴a_nb_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+_{n}}{{a}_{n}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}=2$，
則數(shù)列{c_n}的前2017項和S₂₀₁₇=2017×2=4034．
故答案為：4034．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．